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【Java】我所知道的十大常用算法之迪杰斯特拉算法(最短路径)

前言需求


今天我们学习的是迪杰斯特拉算法(最短路径),我们还是从一个场景里引入看看

【Java】我所知道的十大常用算法之迪杰斯特拉算法(最短路径)

战争时期,胜利乡有7个村庄(A, B, C, D, E, F, G)

有一名邮差需要你的帮忙:从G点出发,分别把邮件分别送到 A, B, C , D, E, F 六个村庄

问:如何计算出G村庄到 其它各个村庄的最短距离?

1.各个村庄的距离用边线表示(权) ,比如 A – B 距离 5公里

2.如果从其它点出发到各个点的最短距离又是多少?

一、什么是迪杰斯特拉算法?

迪杰斯特拉(Dijkstra)算法是典型最短路径算法

用于计算一个结点到其他结点的最短路径。 

它的主要特点是以起始点为中心向外层层扩展(广度优先搜索思想),直到扩展到终点为止。

让我们回顾一下广度优先搜索的思想,可以看往期文章:图(广度优先与深度优先)

图的广度优先搜索(Broad First Search)

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图的深度优先搜索(Depth First Search)

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迪杰斯特拉(Dijkstra)算法过程

设置出发顶点为v,顶点集合V{v1,v2,vi...}

v到V中各顶点的距离构成距离集合Dis,Dis{d1,d2,di...}

Dis集合记录着v到图中各顶点的距离(到自身可以看作0,v到vi距离对应为di)

步骤如下:

  • 从Dis中选择值最小的di并移出Dis集合同时移出V集合中对应的顶点vi,此时的v到vi即为最短路径
  • 更新Dis集合,更新规则为:比较v到V集合中顶点的距离值,与v通过vi到V集合中顶点的距离值,保留值较小的一个(同时也应该更新顶点的前驱节点为vi,表明是通过vi到达的)
  • 重复执行两步骤,直到最短路径顶点为目标顶点即可结束

二、通过示例来认识算法

迪杰斯特拉算法图解思路

A、B、C、D、E、F、G 这些顶点,我们使用数组记录他们是否访问过

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根据示意图,画出他们的邻接矩阵

【Java】我所知道的十大常用算法之迪杰斯特拉算法(最短路径)

按照要求,假如从G顶点出发,如图所示能连接的顶点有:A、B、E、F

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这时我们,使用数组记录A、B、E、F的前驱顶点指向G顶点下标

【Java】我所知道的十大常用算法之迪杰斯特拉算法(最短路径)

接下来我们使用数组记录,同时判断A、B、E、F与G顶点的连接权值

【Java】我所知道的十大常用算法之迪杰斯特拉算法(最短路径)

那么这个时候,我们以最小权值:A,作为新访问节点,继续遍历操作

迪杰斯特拉算法思路

1.使用邻接矩阵来表示图所之间连接关系与权重值

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【Java】我所知道的十大常用算法之迪杰斯特拉算法(最短路径)

//使用邻接矩阵描述权重值表示0 代表无
int[][] weight = new int[][]{
{0,5,7,0,0,0,0},
{5,0,0,9,0,0,3},
{7,0,0,0,8,0,0},
{0,9,0,0,0,4,0},
{0,0,8,0,0,5,4},
{0,0,0,4,5,0,6},
{2,3,0,0,4,6,0}
}; 

2.需要一个存放顶点的char数组

//char[] 数组存放顶点个数
char[] data = new char[]{'A','B','C','D','E','F','G'};

3.创建对象存放节点数据、邻接矩阵、输出图的方法

class Graph{
char[] data;//存放结点数据
int[][] weight;//存放边
public Graph(char[] data, int[][] weight) {
this.data = data;
this.weight = weight;
}
//输出图
public void showGraph(){
for (int[] link:weight){
System.out.println(Arrays.toString(link));
}
}
}

接下来我们使用demo 完成图的创建与输出

public static void main(String[] args) {
//char[] 数组存放顶点个数
char[] data = new char[]{'A','B','C','D','E','F','G'};
//使用邻接矩阵描述权重值表示0 代表无
int[][] weight = new int[][]{
{0,5,7,0,0,0,0},
{5,0,0,9,0,0,3},
{7,0,0,0,8,0,0},
{0,9,0,0,0,4,0},
{0,0,8,0,0,5,4},
{0,0,0,4,5,0,6},
{2,3,0,0,4,6,0}
};
Graph graph = new Graph(data , weight);
graph.showGraph();
}

【Java】我所知道的十大常用算法之迪杰斯特拉算法(最短路径)

4.接下来我们根据之前的思路,创建对应的集合思路

class VisitedVertex{
public int[] already_arr;//记录顶点是否访问过的集合
public int[] pre_visited;//每个下标对应的值,作为前一个顶点的下标
public int[] dis;//记录顶点到其他其他顶点的距离
/**
*
* @param length 记录顶点的个数
* @param index 出发顶点的下标,比如说G订单下标为:6
*/
public VisitedVertex(int length,int index) {
this.already_arr = new int[length];
this.pre_visited = new int[length];
this.dis = new int[length];
}
}

根据我们的图解思路,有以下的事情需要做:

1.出发顶点与其他顶点的距离,由于不知道,所以先初始化为最大值
2.出发顶点需要初始化为:已访问
3.出发顶点与自己的距离初始化为:0

class VisitedVertex{
//省略其他关键代码...
/**
*
* @param length 记录顶点的个数
* @param index 出发顶点的下标,比如说G订单下标为:6
*/
public VisitedVertex(int length,int index) {
this.already_arr = new int[length];
this.pre_visited = new int[length];
this.dis = new int[length];
//出发顶点需要初始化为:已访问
this.already_arr[index] =1;
//暂时先初始化与其他顶点的距离为最大值
Arrays.fill(dis,6535);
//出发顶点与自己的距离初始化为:0
this.dis[index] = 0;
}
}

当我们知道某个顶点是否被访问过?怎么办?

这时添加辅助方法:通过传入顶点下标,得到是否已被访问

class VisitedVertex{
//省略其他关键代码...
/**
* 功能:判断index顶点是否被访问过
* @param index
* @return 访问过返回true 否则false
*/
public boolean in(int index){
return already_arr[index] == 1;
}
}

前面我们分析G顶点时:使用数组记录,并将A、B、E、F的前驱顶点指向G顶点下标

这时我们添加辅助方法:更新某顶点的前驱节点指向index顶点

class VisitedVertex{
//省略其他关键代码...
/**
* 更新某顶点的前驱节点指向index下标的顶点
* @param pre 某节点的下标
* @param index 指向顶点的下标
*/
public void updatePre(int pre,int index){
pre_visited[pre] = index;
}
}

当我们需要知道某顶点i,它与index顶点之间的距离是多少,怎么办?

同时添加辅助方法:通过传入顶点下标,返回与index的距离权值

class VisitedVertex{
//省略其他关键代码...
/**
* 功能:返回顶点i与index 顶点的距离
* @param i
* @return
*/
public int getDis(int i){
return dis[i];
}
}

前面我们分析G顶点时:使用数组记录,同时判断A、B、E、F与G顶点的连接权值

这时我们添加辅助方法:修改i顶点与index节点的连接权值

示例:更新A顶点与G顶点的连接权值,dis[A顶点下标] = 连接权值

class VisitedVertex{
//省略其他关键代码...
/**
* 功能:重新赋值i顶点与index节点的连接权值
* @param i i顶点的下标
* @param len 与index节点的连接权值
*/
public void updateDis(int i,int len){
dis[i] = len;
}
}

这时我们添加辅助方法:更新遍历index顶点的所有连接节点与index的权值距离

示例:更新A、B、E、F顶点与G顶点的连接权值,dis[顶点下标] = 连接权值

那么我们就需要获取到index顶点的所有连接节点


class Graph{
//省略其他关键代码...
/**
* 功能:更新遍历index顶点的所有连接节点与index的权值距离
* @param index
*/
private void update(int index){
int len = 0;
//获取到index顶点的所有连接顶点
int[] matrix = weight[index];
for (int j = 0; j<matrix.length;j++){
len = weight[index][j];
if(!vv.in(j) && len <vv.getDis(j) ){
vv.updatePre(j,index);
vv.updateDis(j,len);
}
}
}
}

这段代码什么意思呢?我以之前的图解思路G顶点来分析一波看看

即index = G顶点下标,我们从获取到G顶点的的所有连接节点开始

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此时,我们将A、B、E、F 连接节点for循环,遍历下标获取

此时连接顶点A:对应的下标即为0,那么对应的代码是weight6

此时连接顶点A与G顶点的连接权值就是:2,其他请看下图

【Java】我所知道的十大常用算法之迪杰斯特拉算法(最短路径)

前面提到:过出发顶点与其他顶点的距离,由于不知道,所以先初始化为最大值

所以只要顶点A没访问过,并且与G顶点连接权值小于最大值

那么我们就以下两件事情:

1.调用方法:更新某顶点的前驱节点指向index顶点,A顶点前驱节点指向G顶点

2.调用方法:修改i顶点与index节点的连接权值,原之前的最大值改为:2

但是刚刚的代码有一个问题:如果是G顶点到C顶点是多少呢?

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那么我们的路径就是G-C 为9,原因是 A + C ,所以我们修改代码

class Graph{
//省略其他关键代码...
/**
* 功能:更新遍历index顶点的所有连接节点与index的权值距离
* @param index
*/
private void update(int index){
int len = 0;
//获取到index顶点的所有连接顶点
int[] matrix = weight[index];
for (int j = 0; j<matrix.length;j++){
len = vv.getDis(j) + weight[index][j];
if(!vv.in(j) && len <vv.getDis(j) ){
vv.updatePre(j,index);
vv.updateDis(j,len);
}
}
}
}

当G的所有A、B、E、F 连接节点,都重新赋值与G顶点的连接权值后

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到这一步,我们还需要分析,选取最小权值作为新访问节点,继续遍历操作

这时我们添加辅助方法:继续选择并返回新的访问顶点

class VisitedVertex{
//省略其他关键代码...
/**
* 功能:继续选择并返回新的访问顶点
* @return
*/
public int updateArr(){
int min = 6535;
int index = 0;
for (int i = 0;i < already_arr.length;i++){
if(already_arr[i] == 0 && dis[i]<min){
min = dis[i];
index = i;
}
}
//同时成为新的访问顶点要标注已访问过
already_arr[index] = 1;
return index;
}
}

三、迪杰斯特拉算法编写

public void dsj(int index){
//传入顶点的个数,与出发顶点的下标
vv = new VisitedVertex(data.length,index);
//更新遍历index顶点的所有连接节点与index的权值距离
update(index);
for (int j = 1;j < data.length ; j++){
//选择index顶点并返回新的访问顶点
index = vv.updateArr();
update(index);
}
}

输出方法:仅供参考(提示)

public void showDis(){
char[] data = new char[]{'A','B','C','D','E','F','G'};
int count = 0;
for (int i : dis) {
if (i != 65535) {
System.out.print(data[count] + "("+i+") ");
} else {
System.out.println("N ");
}
count++;
}
System.out.println();
}

我们之前的问题是:计算出G村庄到 其它各个村庄的最短距离?

接下来让我们使用demo 测试看看

public static void main(String[] args) {
//char[] 数组存放顶点个数
char[] data = new char[]{'A','B','C','D','E','F','G'};
int maxValue = 6535;
//使用邻接矩阵描述权重值表示0 代表无
int[][] weight = new int[][]{
{maxValue,5,7,maxValue,maxValue,maxValue,maxValue},
{5,maxValue,maxValue,9,maxValue,maxValue,3},
{7,maxValue,maxValue,maxValue,8,maxValue,maxValue},
{maxValue,9,maxValue,maxValue,maxValue,4,maxValue},
{maxValue,maxValue,8,maxValue,maxValue,5,4},
{maxValue,maxValue,maxValue,4,5,maxValue,6},
{2,3,maxValue,maxValue,4,6,maxValue}
};
Graph graph = new Graph(data ,weight);
//graph.showGraph();
graph.dsj(6);
graph.show();
}
运行结果如下:
A(2) B(3) C(9) D(10) E(4) F(6) G(0)

参考资料


  • 尚硅谷:数据结构与算法(韩顺平老师):迪杰斯特拉算法

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