【Java】如何检测社交网络中两个人是否是朋友关系(union-find算法)

如何检测社交网络中两个人是否是朋友关系(union-find算法)

Silently9527发布于 7 分钟前

前言

春节放假会了老家,停更了很多天,这是年后连夜肝出来的第一篇文章,先来聊聊春节放假期间发生的事,这次回家遇到了我学生时代的女神,当年她在我心目中那是

没想到这次回家遇到了她,身体发福了,心目中女神的形象瞬间碎了,就好像达芬奇再次遇到了蒙娜丽莎

好了,言归正传。

有时候我们可以需要判断在大型网络中两台计算机是否相连,是否需要建立一条新的连接才能通信;或者是在社交网络中判断两个人是否是朋友关系(相连表示是朋友关系)。在这种应用中,通常我们可能需要处理数百万的对象和数亿的连接,如何能够快速的判断出是否相连呢?这就需要使用到union-find算法

概念

相连

假如输入一对整数,其中每个数字表示的是某种对象(人、地址或者计算机等等),整数对p,q理解为“p与q相连”,相连具有以下特性:

  • 自反性:p与p是相连的
  • 对称性:如果p与q相连,那么q与p相连
  • 传递性:如果p与q相连,q与r相连,那么p与r也相连

等价类

假设相连是一个种等价关系,那么等价关系能够将对象划分为多个等价类,在该算法中,当且仅当两个对象相连时他们才属于同一个等价类

触点

整个网络中的某种对象称为触点

连通分量

将整数对称为连接,将等价类称作连通分量或者简称分量

【Java】如何检测社交网络中两个人是否是朋友关系(union-find算法)

动态连通性

union-find算法的目标是当程序从输入中读取了整数对p q时,如果已知的所有整数对都不能说明p q是相连的,那么将这一对整数输出,否则忽略掉这对整数;我们需要设计数据结构来保存已知的所有整数对的信息,判断出输入的整数对是否是相连的,这种问题叫做动态连通性问题。

union-find算法API定义

public interface UF {

void union(int p, int q); //在p与q之间添加一条连接

int find(int p); //返回p所在分量的标识符

boolean connected(int p, int q); //判断出p与q是否存在于同一个分量中

int count(); //统计出连通分量的数量

}

如果两个触点在不同的分量中,union操作会使两个分量归并。一开始我们有N个分量(每个触点表示一个分量),将两个分量归并之后数量减一。

抽象实现如下:

public abstract class AbstractUF implements UF {

protected int[] id;

protected int count;

public AbstractUF(int N) {

count = N;

id = new int[N];

for (int i = 0; i < N; i++) {

id[i] = i;

}

}

@Override

public boolean connected(int p, int q) {

return find(p) == find(q);

}

@Override

public int count() {

return count;

}

}

接下来我们就主要来讨论如何实现union方法和find方法

quick-find算法

这种算法的实现思路是在同一个连通分量中所有触点在id[]中的值都是相同的,判断是否连通的connected的方法就是判断id[p]是否等于id[q]。

public class QuickFindImpl extends AbstractUF {

public QuickFindImpl(int N) {

super(N);

}

@Override

public int find(int p) {

return id[p];

}

@Override

public void union(int p, int q) {

int pId = find(p);

int qId = find(q);

if (pId == qId) { //如果相等表示p与q已经属于同一分量中

return;

}

for (int i = 0; i < id.length; i++) {

if (id[i] == pId) {

id[i] = qId; //把分量中所有的值都统一成qId

}

}

count--; //连通分量数减一

}

}

  • 算法分析:

find()操作显然是很快的,时间复杂度O(1), 但是union的算法是无法处理大型数据的,因为每次都需要变量整个数组,那么union方法的时间复杂度是O(n)

quick-union算法

为了提高union方法的速度,我们需要考虑另外一种算法;使用同样的数据结构,只是重新定义id[]表示的意义,每个触点所对应的id[]值都是在同一分量中的另一个触点的名称

【Java】如何检测社交网络中两个人是否是朋友关系(union-find算法)

在数组初始化之后,每个节点的链接都指向自己;id[]数组用父链接的形式表示了森林,每一次union操作都会找出每个分量的根节点进行归并。

【Java】如何检测社交网络中两个人是否是朋友关系(union-find算法)

public class QuickUnionImpl extends AbstractUF {

public QuickUnionImpl(int N) {

super(N);

}

@Override

public int find(int p) {

//找出p所在分量的根触点

while (p != id[p]) {

p = id[p];

}

return p;

}

@Override

public void union(int p, int q) {

int pRoot = find(p); //找出q p的根触点

int qRoot = find(q);

if (pRoot == qRoot) { //处于同一分量不做处理

return;

}

id[pRoot] = qRoot; //根节点

count--;

}

}

  • 算法分析:

看起来quick-union算法比quick-find算法更快,因为union不需要为每对输入遍历整个数组,
考虑最佳情况下,find方法只需要访问一次数组就可以得到根触点,那么union方法的时间复杂度O(n);
考虑到最糟糕的输入情况,如下图:

【Java】如何检测社交网络中两个人是否是朋友关系(union-find算法)

find方法需要访问数组n-1次,那么union方法的时间复杂度是O(n²)

加权quick-union算法

为了保证quick-union算法最糟糕的情况不在出现,我需要记录每一个树的大小,在进行分量归并操作时总是把小的树连接到大的树上,这种算法构造出来树的高度会远远小于未加权版本所构造的树高度。

public class WeightedQuickUnionImpl extends AbstractUF {

private int[] sz;

public WeightedQuickUnionImpl(int N) {

super(N);

sz = new int[N];

for (int i = 0; i < N; i++) {

sz[i] = 1;

}

}

@Override

public void union(int p, int q) {

int pRoot = find(p); //找出q p的根触点

int qRoot = find(q);

if (pRoot == qRoot) { //处于同一分量不做处理

return;

}

//小树合并到大树

if (sz[pRoot] < sz[qRoot]) {

sz[qRoot] += sz[pRoot];

id[pRoot] = qRoot;

} else {

sz[pRoot] += sz[qRoot];

id[qRoot] = pRoot;

}

count--;

}

@Override

public int find(int p) {

//找出p所在分量的根触点

while (p != id[p]) {

p = id[p];

}

return p;

}

}

  • 算法分析:

最坏的情况下,每次union归并的树都是大小相等的,他们都包含了2的n次方个节点,高度都是n,合并之后的高度变成了n+1,由此可以得出union方法的时间复杂度是O(lgN)

【Java】如何检测社交网络中两个人是否是朋友关系(union-find算法)

总结

union-find算法只能判断出给定的两个整数是否是相连的,无法给出具体达到的路径;后期我们聊到图算法可以给出具体的路径

算法union()find()
quick-find算法N1
quick-union算法树的高度树的高度
加权quick-union算法lgNlgN


最后(点关注,不迷路)

文中或许会存在或多或少的不足、错误之处,有建议或者意见也非常欢迎大家在评论交流。

最后,写作不易,请不要白嫖我哟,希望朋友们可以点赞评论关注三连,因为这些就是我分享的全部动力来源🙏

javaunion-find算法-数据结构

阅读 10发布于 7 分钟前

本作品系原创,采用《署名-非商业性使用-禁止演绎 4.0 国际》许可协议


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春节放假会了老家,停更了很多天,这是年后连夜肝出来的第一篇文章,先来聊聊春节放假期间发生的事,这次回家遇到了我学生时代的女神,当年她在我心目中那是

没想到这次回家遇到了她,身体发福了,心目中女神的形象瞬间碎了,就好像达芬奇再次遇到了蒙娜丽莎

好了,言归正传。

有时候我们可以需要判断在大型网络中两台计算机是否相连,是否需要建立一条新的连接才能通信;或者是在社交网络中判断两个人是否是朋友关系(相连表示是朋友关系)。在这种应用中,通常我们可能需要处理数百万的对象和数亿的连接,如何能够快速的判断出是否相连呢?这就需要使用到union-find算法

概念

相连

假如输入一对整数,其中每个数字表示的是某种对象(人、地址或者计算机等等),整数对p,q理解为“p与q相连”,相连具有以下特性:

  • 自反性:p与p是相连的
  • 对称性:如果p与q相连,那么q与p相连
  • 传递性:如果p与q相连,q与r相连,那么p与r也相连

等价类

假设相连是一个种等价关系,那么等价关系能够将对象划分为多个等价类,在该算法中,当且仅当两个对象相连时他们才属于同一个等价类

触点

整个网络中的某种对象称为触点

连通分量

将整数对称为连接,将等价类称作连通分量或者简称分量

【Java】如何检测社交网络中两个人是否是朋友关系(union-find算法)

动态连通性

union-find算法的目标是当程序从输入中读取了整数对p q时,如果已知的所有整数对都不能说明p q是相连的,那么将这一对整数输出,否则忽略掉这对整数;我们需要设计数据结构来保存已知的所有整数对的信息,判断出输入的整数对是否是相连的,这种问题叫做动态连通性问题。

union-find算法API定义

public interface UF {

void union(int p, int q); //在p与q之间添加一条连接

int find(int p); //返回p所在分量的标识符

boolean connected(int p, int q); //判断出p与q是否存在于同一个分量中

int count(); //统计出连通分量的数量

}

如果两个触点在不同的分量中,union操作会使两个分量归并。一开始我们有N个分量(每个触点表示一个分量),将两个分量归并之后数量减一。

抽象实现如下:

public abstract class AbstractUF implements UF {

protected int[] id;

protected int count;

public AbstractUF(int N) {

count = N;

id = new int[N];

for (int i = 0; i < N; i++) {

id[i] = i;

}

}

@Override

public boolean connected(int p, int q) {

return find(p) == find(q);

}

@Override

public int count() {

return count;

}

}

接下来我们就主要来讨论如何实现union方法和find方法

quick-find算法

这种算法的实现思路是在同一个连通分量中所有触点在id[]中的值都是相同的,判断是否连通的connected的方法就是判断id[p]是否等于id[q]。

public class QuickFindImpl extends AbstractUF {

public QuickFindImpl(int N) {

super(N);

}

@Override

public int find(int p) {

return id[p];

}

@Override

public void union(int p, int q) {

int pId = find(p);

int qId = find(q);

if (pId == qId) { //如果相等表示p与q已经属于同一分量中

return;

}

for (int i = 0; i < id.length; i++) {

if (id[i] == pId) {

id[i] = qId; //把分量中所有的值都统一成qId

}

}

count--; //连通分量数减一

}

}

  • 算法分析:

find()操作显然是很快的,时间复杂度O(1), 但是union的算法是无法处理大型数据的,因为每次都需要变量整个数组,那么union方法的时间复杂度是O(n)

quick-union算法

为了提高union方法的速度,我们需要考虑另外一种算法;使用同样的数据结构,只是重新定义id[]表示的意义,每个触点所对应的id[]值都是在同一分量中的另一个触点的名称

【Java】如何检测社交网络中两个人是否是朋友关系(union-find算法)

在数组初始化之后,每个节点的链接都指向自己;id[]数组用父链接的形式表示了森林,每一次union操作都会找出每个分量的根节点进行归并。

【Java】如何检测社交网络中两个人是否是朋友关系(union-find算法)

public class QuickUnionImpl extends AbstractUF {

public QuickUnionImpl(int N) {

super(N);

}

@Override

public int find(int p) {

//找出p所在分量的根触点

while (p != id[p]) {

p = id[p];

}

return p;

}

@Override

public void union(int p, int q) {

int pRoot = find(p); //找出q p的根触点

int qRoot = find(q);

if (pRoot == qRoot) { //处于同一分量不做处理

return;

}

id[pRoot] = qRoot; //根节点

count--;

}

}

  • 算法分析:

看起来quick-union算法比quick-find算法更快,因为union不需要为每对输入遍历整个数组,
考虑最佳情况下,find方法只需要访问一次数组就可以得到根触点,那么union方法的时间复杂度O(n);
考虑到最糟糕的输入情况,如下图:

【Java】如何检测社交网络中两个人是否是朋友关系(union-find算法)

find方法需要访问数组n-1次,那么union方法的时间复杂度是O(n²)

加权quick-union算法

为了保证quick-union算法最糟糕的情况不在出现,我需要记录每一个树的大小,在进行分量归并操作时总是把小的树连接到大的树上,这种算法构造出来树的高度会远远小于未加权版本所构造的树高度。

public class WeightedQuickUnionImpl extends AbstractUF {

private int[] sz;

public WeightedQuickUnionImpl(int N) {

super(N);

sz = new int[N];

for (int i = 0; i < N; i++) {

sz[i] = 1;

}

}

@Override

public void union(int p, int q) {

int pRoot = find(p); //找出q p的根触点

int qRoot = find(q);

if (pRoot == qRoot) { //处于同一分量不做处理

return;

}

//小树合并到大树

if (sz[pRoot] < sz[qRoot]) {

sz[qRoot] += sz[pRoot];

id[pRoot] = qRoot;

} else {

sz[pRoot] += sz[qRoot];

id[qRoot] = pRoot;

}

count--;

}

@Override

public int find(int p) {

//找出p所在分量的根触点

while (p != id[p]) {

p = id[p];

}

return p;

}

}

  • 算法分析:

最坏的情况下,每次union归并的树都是大小相等的,他们都包含了2的n次方个节点,高度都是n,合并之后的高度变成了n+1,由此可以得出union方法的时间复杂度是O(lgN)

【Java】如何检测社交网络中两个人是否是朋友关系(union-find算法)

总结

union-find算法只能判断出给定的两个整数是否是相连的,无法给出具体达到的路径;后期我们聊到图算法可以给出具体的路径

算法union()find()
quick-find算法N1
quick-union算法树的高度树的高度
加权quick-union算法lgNlgN


最后(点关注,不迷路)

文中或许会存在或多或少的不足、错误之处,有建议或者意见也非常欢迎大家在评论交流。

最后,写作不易,请不要白嫖我哟,希望朋友们可以点赞评论关注三连,因为这些就是我分享的全部动力来源🙏

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